Estudio algebráico y geométrico de las K-álgebras de dimensión finita

Abstract

En este trabajo, de naturaleza elemental como corresponde a un trabajo de grado, hemos intentado responder a las preguntas siguientes: Si K es un cuerpo de característica distinta de dos. ¿Es cierto que tanto las K-álgebras de dimensión dos, como las cuádricas en la recta proyectiva y las cuádricas reales (es decir con algún punto no singular) irreducibles en el espacio proyectivo de dimensión tres sobre K, son las clases de elementos de K módulo producto por cuadrados de K\{0}? ¿Existe alguna razón geométrica que justifique este hecho? Para responder a las preguntas hemos estudiado la estructura general de las K-álgebras finitas y la de la recta proyectiva sobre una K-algebra finita, que es el elemento unificador que responde a la segunda pregunta. También se exploran brevemente las K-álgebras de dimensión tres para comprender mejor las limitaciones que tenemos para poder generalizar nuestros resultados a dimensiones superiores. En nuestro trabajo hemos usado técnicas y resultados de algebra conmutativa y de geometría proyectiva y lo hemos hecho autocontenido, salvo algunos resultados como el teorema del elemento primitivo, el lema de Nakayama, y los teoremas de descomposición y simplificación de Witt. La utilización de ambos enfoques, algebraico y geométrico, nos muestra una vez más la estrecha relación entre ambas ramas y el potencial de su combinación. Hemos procedido siempre pasando de lo particular (ejemplos) a los resultados generales y si bien en algunos casos se podría haber ahorrado alguna demostración no lo hemos hecho por insistencia del director del trabajo que nos ha forzado, como ejercicio, a hacer dichas demostraciones.