Integración numérica exponiencial de la ecuación de Schrödinger no lineal

Abstract

El presente trabajo tiene por objeto la integración numérica exponencial de la ecuación de Schrödinger no lineal tras llevar a cabo una discretización pseudoespectral de la parte espacial así como su comparación con otros integradores presentes en la literatura. Dado que los integradores exponenciales, por definición, integran de forma exacta la parte lineal y rígida de un sistema diferencial podremos disponer de integradores que siendo explícitos sean linealmente estables cosa que no sucede con los métodos clásicos. Asimismo se consideran métodos de tipo geométrico dado que es sabido que conservan propiedades cualitativas lo que conlleva un buen comportamiento a largo plazo. Con estos integradores se lleva a cabo la integración de la onda solitaria o solitón. Dado que es complicado obtener métodos que sean a la vez exponenciales y simplécticos, y con el objeto de disponer de métodos exponenciales y explícitos que conserven ciertas propiedades, se consideran métodos explícitos exponenciales de tipo Lawson proyectados sobre el invariante de la norma observándose que, bajo ciertas hipótesis, dicha proyección también implica la proyección sobre el invariante del momento. A partir de estos hechos se lleva a cabo el estudio de la ecuación de Schrödinger no lineal en varias dimensiones y para distintos tipos de soluciones. Es bien conocido la utilización de métodos de splitting para integrar este tipo de problemas. Se lleva a cabo una comparación entre éstos y los anteriormente citados métodos de Lawson proyectados observándose una mejora de estos últimos en cuanto a eficiencia computacional conforme se incrementa el orden de los distintos métodos. Además se consideran interadores exponenciales que requieren una implementación adaptativa y se comparan con los anteriormente citados. Finalmente se lleva a cabo el estudio de la estabilidad de ciertos integradores de orden dos cuando se integra una onda plana levemente perturbada a la vez que se propone una técnica para evitar inestabilidades.Se incluyen un capítulo de preliminares esenciales tanto de la propia ecuación de Schrödinger no lineal como de las características de los diferentes métodos que se utilizan. Al final se incluyen tres apéndices con resultados técnicos de apoyo al capítulo de la estabilidad de la onda plana.