Una introducción a la Teoría de las Sicigias

Abstract

La presente memoria se debe a la realización de un trabajo de Fin de Grado en Matemáticas y consiste, como indica su título, en una introducción a la Teoría de las Sicigias, centrada en ideales y módulos graduados finitamente generados sobre el anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo. El resultado central sería el famoso Teorema de las Sicigias, de David Hilbert, el cual forma parte de los tres grandes teoremas del Álgebra Conmutativa demostrados por Hilbert a finales del siglo XIX: el de las Sicigias, el de la Base y el de los Ceros. Todos ellos son teoremas fundamentales que tienen múltiples aplicaciones en Geometría Algebraica, Teoría de Números o Combinatoria, entre otras ramas de las matemáticas. En el primer capítulo de la memoria introduciremos las nociones básicas que necesitaremos más adelante, como anillos, módulos y complejos graduados, e introduciremos los conceptos centrales del proyecto, que son las resoluciones libres graduadas, las sicigias y los invariantes de las resoluciones libres minimales graduadas, además de enunciar al final el Teorema de las Sicigias. En el segundo capítulo daremos una demostración de dicho teorema utilizando herramientas del Álgebra Homológica, básicamente algunas propiedades del funtor Tor y el complejo de Koszul. En el tercer capítulo daremos una demostración constructiva basada en las bases de Groebner. Finalmente, en el cuarto capítulo estudiaremos algunas consecuencias del Teorema de las Sicigias, sobre todo en lo que refiere a la función de Hilbert, que fue lo que motivó en su primer momento el estudio de las sicigias.