Métricas probabilísticas en el Teorema Central del Límite

Abstract

Uno de los campos de estudio principales de la Teoría de la Probabilidad es el desarrollo de Teoremas Centrales del Límite generalizados. Dentro de este estudio, una de las técnicas más interesantes y con más desarrollo en los últimos años es el llamado método de Stein. Su ventaja frente a otras técnicas radica en que se desarrolla a partir de una idea muy sencilla, pues se basa en la comparación de esperanzas como método para determinar cómo de buena es una aproximación entre distribuciones probabilísticas. Tras desarrollar esta idea introduciendo los fundamentos del método de Stein y presentar el concepto de métrica probabilística, aplicamos el método a sumas de variables aleatorias independientes y damos una prueba del Teorema Central del Límite clásico y bajo la formulación de Lindeberg. Después, generalizamos el método de Stein a variables aleatorias con dependencia local y desarrollamos un Teorema Central del Límite en un caso más complejo. Concretamente estudiamos una situación combinatoria que genera un modelo especial de grafo. Finalmente, extendemos nuestro estudio sistematizándolo al estudio de Teoremas Centrales del Límite en espacios de funciones generalizados. En particular, estudiamos los procesos de Poisson y el cálculo de Malliavin, que combinado con el método de Stein nos permite realizar el análisis de un modelo clásico de la geometría estocástica, en el que estudiamos un funcional concreto del espacio de Poisson, para el cual seremos capaces de desarrollar un Teorema Central del Límite.