Espacios de Hilbert, resonancias y el modelo de Friedrichs

Abstract

A lo largo del Grado en Física se introduce al estudiante a la Mecánica Cuántica. Usualmente se centran los esfuerzos en los estados estacionarios de las partículas, aquellos que no evolucionan con el tiempo. Es sabido que, en la mayoría de situaciones en la naturaleza, no se produce esta situación ideal en la que un estado permanece inalterado de manera infinita. Sino que se producen en muchas ocasiones procesos de decaimiento cuyo estudio requiere de conceptos matemáticos que se escapan a las competencias del grado. El análisis de los estados inestables, o como las llamaremos en adelante, resonancias, puede realizarse de diversas maneras. En el presente trabajo se llevará a cabo un proceso de obtención de los estados resonantes a través del Modelo de Friedrichs. El Modelo de Friedrichs no es único, sino que tiene diferentes versiones según el caso que se quiera estudiar. Aquí daremos una introducción al Modelo de Friedrichs más elemental, válido para sistemas no relativistas y con un espectro concreto el cual precisaremos más adelante. Para abordar esta tarea es preciso el conocimiento de algunos conceptos matemáticos previos. Por ello gran parte de la memoria consiste en una introducción a estos. Uno de los más importantes es el de Espacio de Hilbert, el cual se desarrollará de una manera más profunda de la necesaria para los intereses del modelo. El trabajo se divide en 3 bloques con el fin de dotarlo de una estructura clara que permita al lector abordar este estudio de la manera más eficiente posible. En el primer apartado se da una introducción a los espacios de Hilbert, cuyo estudio se realiza de forma general debido a la importancia de estos en la física, en particular en la Mecánica Cuántica. Posteriormente se introducen en la sección 2 algunos conceptos básicos sobre teoría de la medida, lo que nos permitirá hacer una clasificación del espectro, necesaria para entender el marco en el cual desarrollaremos este Modelo de Friedrichs más elemental. Una vez vistos estos conceptos se pasa, en la tercera sección, al estudio del Modelo de Friedrichs, para ello damos una descripción de cómo se producen y se estudian las resonancias en la Mecánica Cuántica. El principal objetivo de este bloque será encontrar los estados de Gamow que definen los estados resonantes, para ello es necesario dar antes unas breves nociones sobre Espacios de Hilbert Equipados.