El Teorema de Interpolación de Carleson

Abstract

El principal objetivo de esta memoria es exponer el Teorema de interpolación de Carleson. Dada una función compleja $f$ holomorfa y acotada en el semiplano superior del plano complejo, y fijada una sucesión de puntos $\{ z_j \}_{j=1}^{\infty}$ de dicho semiplano, es claro que la sucesión de imágenes $ \{ f(z_j) \}_{j=1}^{\infty} $ es acotada. El problema de interpolación de Carleson consiste en determinar las sucesiones $\{ z_j \}_{j=1}^{\infty}$ como la anterior, tales que dada una sucesión acotada arbitraria $\{ b_j \}_{j=1}^{\infty}$ de valores complejos, es posible encontrar una función $f$ en las condiciones indicadas de modo que $f(z_j)=b_j$ para todo $j \in \NN$. Dichas sucesiones $\{ z_j \}_{j=1}^{\infty}$ reciben el nombre de sucesiones interpolantes, y su caracterización es conocida como el teorema de interpolación de Carleson. La presentación de este resultado requiere el desarrollo de una serie de herramientas y técnicas avanzadas de Variable Compleja, entre las que se encuentran el estudio de productos de Blaschke, las medidas de Carleson, o los espacios $H^p$ en el disco o en el semiplano.