Quantum vacuum energy in cavities: from singular interactions to magnetodielectrics

Abstract

This thesis presents an analysis of the Casimir-Lifshitz effect for configurations of two objects, being one of them contained within the other. The first of the two parts of this work is devoted to the construction and study of a particular family of potentials that will be used for mimicking the bodies. The aim is to employ a potential simple enough for obtaining some nontrivial analytical results. This will help us to gain some insight in the properties of the quantum vacuum for these systems and thus be able to present general results for more realistic systems. To that end, we use a generalization of the Dirac $\delta$, the so-called $\delta$-$\delta'$ interaction, extending the one-dimensional definition to spherical systems for spatial dimension $d\geq2$. The definition is based on constructing self-adjoint extensions of the original Hamiltonian. We perform a study of the domain and spectrum of the resulting operator, indicating some possible applications in quantum mechanics, in particular within the context of mean-field nuclear models. For this reason, we add {nonsingular} potentials to the $\delta$-$\delta'$ interaction such as the spherical well and a Coulombic term, suitable to describe neutron and proton energy levels. We show that general features of the low-energy states can be obtained, indicating how these singular interactions can be used as a first approximation for real physical systems in certain contexts.

The second part of the thesis is devoted to the proper study of the vacuum energy in cavity configurations. The main goal is to expand the analysis of the Casimir effect to this kind of configurations, establishing some general results on the sign of the energy and pressure. Thus, we first study a massless scalar field in the presence of two concentric $\delta$-$\delta'$ spheres. For computing the pressure on the spheres, the interaction energy between them and the self-energy should be considered. On this basis, we first study the interaction between the spheres employing the TGTG representation. The interaction energy is known to be free of divergences. However, this is not the case for the self-energy. In order to regularize this quantity we employ the zeta function regularization method. Studying the structure of the divergences we find a one-parameter family of potentials in which the self-energy and self-pressure are unambiguously defined. The latter is based on the cancellation of the heat kernel coefficient $a_2$, so no renormalization procedure is needed. Bearing in mind the results obtained for the interaction energy for the scalar field, some general results for the electromagnetic field are obtained {also employing the TGTG representation}. In particular, we consider two different configurations: a dielectric sphere enclosed within an arbitrarily shaped magnetodielectric cavity and a dielectric object with a spherical cavity in which another arbitrarily shaped magnetodielectric object is enclosed. For the latter, some new results in classical scattering theory for experiments in which source and detector are inside an object are presented. As for the scalar field, the self-energy is also considered when computing the total pressure. In this case, for one of the few configurations in which the self-energy is unambiguously defined for material bodies, a dilute dielectric ball.

Esta tesis presenta un estudio del efecto Casimir-Lifshitz para configuraciones de dos objetos, estando uno de ellos contenido dentro del otro. La primera de las dos partes de este trabajo está dedicada a la construcción y estudio de una familia de potenciales singulares que se utilizarán para modelar los cuerpos. El objetivo es emplear un potencial suficientemente simple pero que dé lugar a resultados analíticos no triviales. Esto facilitará la comprensión de las propiedades del vacío cuántico para estos sistemas para así ser capaces de presentar resultados generales para sistemas más realistas. Para ello, utilizamos una generalización de la $\delta$ de Dirac, la llamada interacción $\delta$-$\delta'$, extendiendo la definición unidimensional a sistemas esféricos de dimensión espacial $d\geq2$. La definición se basa en la construcción de extensiones autoadjuntas del hamiltoniano original. Realizamos un estudio del dominio y espectro del operador resultante, indicando algunas posibles aplicaciones en mecánica cuántica, en particular para modelos nucleares de campo medio. Por esta razón, añadimos potenciales {no singulares} a la interacción $\delta$-$\delta'$ como el pozo esférico y un término coulombiano, adecuados para describir los niveles de energía de neutrones y protones. Mostramos que se pueden obtener características generales de los estados de baja energía, indicando cómo estas interacciones singulares sirven como primera aproximación para sistemas físicos en ciertos contextos.

La segunda parte de la tesis está dedicada al estudio de la energía del vacío en configuraciones con una cavidad. El objetivo principal es ampliar el análisis del efecto Casimir-Lifshitz a este tipo de sistemas, demostrando resultados generales sobre el signo de la energía y la presión. De esta forma, primero estudiamos un campo escalar sin masa en presencia de dos esferas $\delta$-$\delta'$ concéntricas. Para calcular la presión sobre las esferas debemos considerar la energía de interacción entre ellas y también la autoenergía de cada una por separado. De esta forma, primero estudiamos la interacción entre las esferas empleando la representación TGTG de la energía, la cual da lugar a una energía y fuerza finita. Sin embargo, lo mismo no ocurre para la autoenergía. Para regularizar esta cantidad empleamos el método basado en funciones zeta. Estudiando la estructura de las divergencias encontramos una familia uniparamétrica de potenciales en la que la autoenergía y la presión están definidas de forma inequívoca. Esto último se basa en la cancelación del coeficiente del núcleo de calor $a_2$, por lo que no se necesita ningún procedimiento adicional de renormalización. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos para la energía de interacción con el campo escalar, hemos demostrado resultados generales para el campo electromagnético, {usando también la representación TGTG}. En particular, hemos considerado dos configuraciones diferentes: una esfera dieléctrica encerrada dentro de una cavidad magnetodieléctrica con geometría arbitraria y un objeto dieléctrico con una cavidad esférica en la que está encerrado otro objeto magnetodieléctrico también con geometría arbitraria. Para probar esto hemos introducido nuevos resultados en el contexto de la teoría clásica de scattering para experimentos en los que la fuente y el detector están dentro del objeto. Al igual que para el campo escalar, la autoenergía también se ha considerado al calcular la presión total. En este caso, para uno de los pocos sistemas en los que la autoenergía se define sin ambigüedades para objetos materiales, una esfera dieléctrica en el límite diluido.