Introducción al análisis p-ádico

Abstract

En este trabajo nos centraremos en los aspectos más básicos del análisis pádico, haciendo hincapié de vez en cuando en las diferencias con el análisis sobre el cuerpo de los reales. Comenzaremos introduciendo las normas no Arquimedianas y algunas de sus propiedades. A continuación construiremos a través de sucesiones de Cauchy el completado de R para una norma cualquiera, para posteriormente definir la norma p-ádica y el cuerpo de los números p-ádicos. Sobre este cuerpo definiremos algunas operaciones sencillas que nos permitirán presentar un primer resultado importante: el Lema de Hensel [5, Teorema 1.39], del cual deduciremos algunos resultados de carácter algebraico sobre Zp. El siguiente gran teorema que veremos es el Teorema de Ostrowski [7, 2.4 Generalized Absolute Values on the Rational Field], donde se prueba que toda norma no trivial sobre Q es equivalente a alguna norma p-ádica (incluyendo p = ∞). Seguidamente introduciremos algunos conceptos básicos de la topología p-ádica que nos ayudarán a visualizar lo abstracto de la distancia p-ádica y sus diferencias con la topología real. Finalmente estudiaremos el análisis sobre Qp sin profundizar demasiado; trataremos las sucesiones y series centrándonos en las propiedades que no existen en R, para posteriormente introducir las funciones p-ádicas. El estudio de estas nos permitirá de nir la derivación, dando paso a enunciar los últimos teoremas sobre R y así ver que no pueden existir resultados similares en Qp.

T In this project we will focus on the most basic aspects of p-adic analysis, emphasizing from time to time the di erences with the analysis on R. We will begin by introducing non-Archimedean norms and some of their properties. Next we will construct using Cauchy sequences the completion of R for any norm, to later de ne the p-adic norm and the eld of p-adic numbers. Secondly we will de ne some simple operations that will allow us to present an important result:Hensel's Lemma [5, Theorem 1.39], from which we will deduce some algebraic results about Zp. The next important theorem we will see is Ostrowski's Theorem [7, 2.4], where we prove that every non-trivial norm over Q is equivalent to some p-adic norm (including p = ∞). Next we will introduce some basic concepts of p-adic topology that will help us visualize the abstractness of the p-adic distance and its di erences with real topology. Finally we will study analysis on Qp without going too deep; we will talk about sequences and series focusing on the properties that do not exist in R to later introduce the p-adic functions. The study of these will allow us to de ne the derivation, leading to stating the last theorems about R and thus seeing that similar results cannot exist in Qp.