Fundamentos matemáticos de la teoría de la señal

Abstract

La teoría de la señal estudia las señales y los sistemas que las transmiten. Desde el punto de vista matemático, una señal continua se corresponde con el concepto de función. Por otro lado, una señal discreta está asociada a una sucesión. El objetivo de este trabajo es presentar la teoría de filtros. Estos objetos se corresponden con aplicaciones lineales, continuas e invariantes bajo traslaciones. Se presentarán los filtros analógicos gobernados por ecuaciones diferenciales, tanto para funciones como para distribuciones. El empleo de este último tipo de objetos permitirá obtener resultados más generales. Además, se introducirán los filtros discretos. Finalmente, se desarrollará brevemente la transformada z, herramienta que permite caracterizar los filtros discretos regidos por ecuaciones en diferencias. Al final de cada sección se incluye un ejemplo práctico para ilustrar la teoría desarrollada.

Signal theory studies signals and the systems that transmit them. From a mathematical point of view, a continuous signal corresponds to the concept of a function, while a discrete signal is associated with a sequence. The aim of this work is to present the theory of filters. These objects correspond to linear, continuous, and translation-invariant mappings. Analog filters governed by differential equations will be presented, both for functions and distributions. The use of the latter type of objects will allow for more general results. Additionally, discrete filters will be introduced. Finally, the z transform, a tool that characterizes discrete filters governed by difference equations, will be briefly developed. At the end of each section, a practical example is included to illustrate the developed theory.