Introducción a los números p-ádicos

Abstract

A lo largo de este trabajo construiremos estos números con detenimiento. Comenzando por el primer capítulo, en el que generalizaremos la definición de valor absoluto a cualquier cuerpo, haciendo especial hincapié en los valores absolutos no arquimedianos cuya propiedad especial dará pie a una topología métrica muy distinta a la que acostumbramos en R. También presentaremos el Teorema de Ostrowski, y daremos pequeña introducción a las valoraciones sobre un cuerpo. Tras este primer capítulo más general abordaremos la compleción de Q, presentando el problema de incompletitud de este cuerpo y construiremos un nuevo cuerpo que lo complete, definiendo así los números p-ádicos. En el tercer y último capítulo, describiremos la estructura algebraica y topológica del nuevo cuerpo Qp, daremos una idea de cómo representar sus elementos y finalizaremos el trabajo enunciando y demostrando, en dos versiones diferentes, el Lema de Hensel.