Métodos Numéricos tipo Runge-Kutta-Nyström para la integración eficiente de problemas oscilatorios

Abstract

En la segunda mitad del siglo pasado se han realizado numerosos trabajos sobre métodos numéricos para la integración de ecuaciones diferenciales ordinarias. En la actualidad, numerosos paquetes de software contienen rutinas de propósito general para la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Dado que una ecuación diferencial de cualquier orden puede ser escrita como un sistema de ecuaciones de primer orden, dichas rutinas pueden utilizarse para resolver ecuaciones de cualquier orden. Esto podría hacer pensar que no es necesario el desarrollo de algoritmos específicos para tipos particulares de ecuaciones diferenciales, pero esta clase de estudios no es un trabajo inútil ya que al exigir menos generalidad podemos obtener métodos más eficientes. Uno de los tipos que aparece a menudo en las ciencias aplicadas es la ecuación de segundo orden. Por ello, parece conveniente el desarrollo de métodos específicos para estas ecuaciones. En esta memoria estamos interesados en un tipo particular de problemas: los problemas oscilatorios. Esta clase de problemas aparece a menudo en el campo de la dinámica orbital.Desarrollaremos nuevos esquemas numéricos mediante una pequeña modificación en los códigos clásicos de Runge-Kutta-Nyström. Introduciremos dicha modificación para mejorar el comportamiento de los métodos cuando integran problemas oscilatorios. La idea consiste en exigir a los nuevos métodos un orden más elevado cuando integran el problema del oscilador no perturbado sin llegar a exigir la integración exacta de éste, como lo hacen otros métodos especiales. La ventaja de los nuevos esquemas será la simplicidad de sus coeficientes, lo que les hacen muy recomendables para la integración con paso variable.