Dominios de Krull y aplicaciones

Abstract

En este trabajo, introducimos y estudiamos los conceptos de valoración, anillo de valoración discreta y dominio de Krull, íntimamente relacionados con el estudio de la normalización y resolución de singularidades de variedades algebraicas. En los dos capítulos finales, como aplicación al campo de la resolución de singularidades, se presenta el espacio de arcos de una variedad, introducido por el matemático John Nash en los años 60, estudiando particularmente el caso de la cúspide y obteniendo al final del trabajo un resultado hasta ahora desconocido, que relaciona este espacio con su normalización. Con este resultado iniciamos el camino hacia la investigación, en un campo en el que quedan muchas preguntas abiertas incluso en uno de los casos más sencillos, la cúspide.

In this project, we introduce and study the concepts of valuation, discrete valuation ring, and Krull domain, which are closely related to the study of normalization and resolution of singularities of algebraic varieties. In the last two chapters, as an application to the field of singularities resolution, we present the space of arcs of a variety, introduced by the mathematician John Nash in the 60’s, particularly studying the case of the cusp and ultimately obtaining a previously unknown result, which explains the relation between this space and its normalization. With this result, we embark on the path of scientific research, in a field where many questions remain open, even in one of the simplest cases, the cusp.