Stability properties and Borel-Ritt theorems in ultraholomorphic classes. An application to a generalized moment problem

Abstract

The first aim of this dissertation is to characterize several stability properties, such as inverse or composition closedness, for ultraholomorphic function classes in unbounded sectors of the Riemann surface of the logarithm of both Roumieu and Beurling type defined in terms of a weight matrix. In the Roumieu case, we transfer and extend known results from J. Siddiqi and M. Ider, from the weight sequence setting and in sectors not wider than a half-plane, to the weight matrix framework and for sectors in the Riemann surface of the logarithm with arbitrary opening. The key argument rests on the construction, under suitable hypotheses, of characteristic functions in these classes for unrestricted sectors. As a by-product, we obtain new stability results when the growth control in these classes is expressed in terms of a weight sequence, or of a weight function in the sense of Braun-Meise-Taylor. In the Beurling case, we only deal with sectors not wider than a half-plane, due to the lack of characteristic functions, and the technique, completely different, rests on the theory of multiplicatively convex Fréchet algebras.

The second objective consists of improving known results of Borel-Ritt-type, dealing with the surjectivity of the asymptotic Borel mapping in Carleman ultraholomorphic classes, defined by the control of the size of the derivatives of their elements in terms of a weight sequence. We construct optimal flat functions in Carleman-Roumieu ultraholomorphic classes associated to general strongly nonquasianalytic weight sequences, and defined on sectors of suitably restricted opening. These functions provide kernel functions and their corresponding sequences of Stieltjes moments, in terms of which suitable formal Borel-like transforms, and truncated Laplace-like transforms, can be defined. These tools allow for the design of a general constructive procedure in order to obtain linear continuous extension operators, right inverses of the Borel mapping, for the case of regular weight sequences in the sense of Dyn'kin, i. e., those satisfying derivation closedness. The critical opening for which such results cease to be available is determined, and is given by an index of O-regular variation for the defining weight sequence. Some examples are discussed where such optimal flat functions can be obtained in a more explicit way. Furthermore, a much weaker condition for the weight sequence, that of having shifted moments, is shown to be sufficient to obtain these extension results, although its necessity is not clear. Regarding Beurling classes, we are able to slightly improve a classical result of J. Schmets and M. Valdivia and reprove a result of A. Debrouwere, both under derivation closedness. Our new condition also allows us to obtain surjectivity results for Beurling classes in suitably small sectors, but the technique is now adapted from a classical procedure already appearing in the work of V. Thilliez, in its turn inspired by that of J. Chaumat and A.-M. Chollet.

Finally, the condition of shifted moments allows for a new framework when considering the Stieltjes moment problem within the general Gelfand-Shilov spaces defined via weight sequences. The novelty consists of allowing for a naturally larger target space for the moment mapping, which sends a function to its sequence of Stieltjes moments. The injectivity and surjectivity of the moment mapping in this new setting is studied and, in some cases, characterized.

El primer objetivo de esta tesis es caracterizar varias propiedades de estabilidad, como el cierre por inversas o por composición, para clases ultraholomorfas de funciones en sectores no acotados de la superficie de Riemann del logaritmo, de tipo Roumieu y Beurling, definidos en términos de una matriz peso. En el caso Roumieu, transferimos y ampliamos resultados conocidos de J. Siddiqi y M. Ider, desde el contexto de sucesiones peso y en sectores no más amplios que un semiplano, al marco de matrices peso y para sectores en la superficie de Riemann del logaritmo con apertura arbitraria. El argumento clave se basa en la construcción, bajo hipótesis adecuadas, de funciones características en estas clases para sectores generales. Como subproducto, obtenemos nuevos resultados de estabilidad cuando el control del crecimiento en estas clases se expresa en términos de una sucesión peso, o de una función peso en el sentido de Braun-Meise-Taylor. En el caso Beurling, sólo tratamos con sectores no más amplios que un semiplano, debido a la falta de funciones características, y la técnica, completamente diferente, se basa en la teoría de álgebras de Fréchet multiplicativamente convexas. El segundo propósito consiste en mejorar los resultados conocidos de tipo Borel-Ritt, que establecen la sobreyectividad de la aplicación de Borel asintótica en clases ultraholomorfas de Carleman, definidas por el control del tamaño de las derivadas de sus elementos en términos de una sucesión peso. Construimos funciones planas óptimas en clases ultraholomorfas de Carleman-Roumieu asociadas a sucesiones peso fuertemente no casianalíticas generales, y definidas en sectores de apertura adecuadamente restringida. Estas funciones proporcionan núcleos, y sus correspondientes sucesiones de momentos de Stieltjes, en términos de los cuales se pueden definir transformadas formales tipo Borel y transformadas truncadas tipo Laplace adecuadas. Estas herramientas permiten diseñar un procedimiento constructivo general para obtener operadores de extensión lineal continua, inversos por la derecha de la aplicación de Borel, para el caso de sucesiones peso regulares en el sentido de Dyn'kin, es decir, aquellas que satisfacen la propiedad de cierre por derivación. Se determina la apertura crítica para la cual dichos resultados dejan de estar disponibles, que viene dada por un índice de O-variación regular de la sucesión peso que define la clase. Se analizan algunos ejemplos en los que dichas funciones planas óptimas se pueden obtener de una manera más explícita. Además, se ha demostrado que una condición mucho más débil sobre la sucesión peso, la de tener momentos desplazados, es suficiente para obtener estos resultados de extensión, aunque su necesidad no está clara. Respecto a las clases de Beurling, podemos mejorar ligeramente un resultado clásico de J. Schmets y M. Valdivia y reprobar un resultado de A. Debrouwere, ambos bajo cierre por derivación. Nuestra nueva condición también nos permite obtener resultados de sobreyectividad para clases de Beurling en sectores adecuadamente pequeños, pero la técnica ahora es una adaptación de un procedimiento clásico que ya aparece en el trabajo de V. Thilliez, a su vez inspirado en el de J. Chaumat y A.-M. Chollet. Finalmente, la condición de momentos desplazados permite un nuevo planteamiento para el problema de momentos de Stieltjes dentro de los espacios generales de Gelfand-Shilov definidos mediante sucesiones peso. La novedad consiste en permitir de forma natural un espacio de llegada mayor para la aplicación de momentos, que envía una función sobre su sucesión de momentos de Stieltjes. Se estudia y, en algunos casos, se caracteriza la inyectividad y sobreyectividad de la aplicación de momentos en este nuevo escenario.