La función Gamma de Euler

Abstract

Este Trabajo de Fin de Grado pretende abordar un estudio detallado de la función Gamma de Euler, una extensión del factorial a argumentos no enteros y una de las funciones especiales más importantes del análisis matemático. La exposición se divide principalmente en dos partes: el análisis en la recta real, donde se presenta el teorema de Bohr–Mollerup; y el estudio en el plano complejo, que incluye distintas definiciones equivalentes de Gamma y culmina con el teorema de Wielandt. Se introducen también los fundamentos teóricos necesarios: convexidad logarítmica, productos infinitos, y holomorfía bajo el signo integral. Finalmente, se comentan diversas aplicaciones de la función Gamma, así como su relación con otras funciones especiales, como las funciones Beta y Zeta de Riemann. A modo de complemento, el trabajo incluye múltiples representaciones gráficas de los contenidos estudiados, generadas con varios recursos informáticos.

This Bachelor’s thesis presents a detailed study of Euler’s Gamma function, which generalizes the factorial to non-integer arguments and stands as one of the most significant special functions in mathematical analysis. The exposition is structured in two main parts: The initial one examines the behavior of the function over the real numbers, including the Bohr–Mollerup theorem; the second one focuses on the complex domain, where several equivalent definitions of the Gamma function are explored, concluding with Wielandt theorem. The necessary theoretical foundations—such as logarithmic convexity, infinite products, and holomorphy under the integral sign—are introduced and developed. The final chapter presents an overview of key applications of the Gamma function, highlighting its connections to other special functions, notably the Beta function and the Riemann Zeta function. Moreover, multiple graphical representations are presented, generated with the aid of various computational resources.