Resolución por radicales de ecuaciones algebraicas

Abstract

En este trabajo se estudia el problema de resolución por radicales de ecuaciones algebraicas en base a la teoría de Galois. Se empieza describiendo la importancia histórica del problema, así como uno de los métodos clásicos más conocidos (la fórmula de Cardano- Tartaglia para la cúbica) y un estudio de las posibles soluciones según el discriminante. Se presenta también el concepto de grupo resoluble y se estudian sus propiedades, particularmente el ejemplo del grupo simétrico, y su aplicación a los polinomios simétricos. Se formaliza la expresión de ecuaciones resolubles por radicales al presentar los conceptos de extensión radical y extensión resoluble, y finalmente, se demuestran los teoremas de Abel y de Galois, presentando también la técnica de las resolventes de Lagrange para la resolución de la cúbica. Por último, se realiza un estudio de la resolubilidad en el cuerpo de los números reales.

In this project we study the problem of solvability by radicals based on Galois theory. We begin by describing its historical importance, as well as one of the best known classical methods (Cardano-Tartaglia’s formula for the cubic) and a discussion on the possible solutions according to the discriminant. We also present the concept of solvable group and study its properties, especially the example of the symmetric group, and its application to symmetric polynomials. The expression of equations tha are solvable by radicals is formalized by presenting the concepts of radical extension and solvable extension, and finally, we prove the theorems of Abel and Galois, presenting also the technique of Lagrange’s resolvents for the resolution of the cubic. Lastly, we discuss solvability in the field of real numbers.