Polinomios linealizados y códigos de Gabidulin

Abstract

El trabajo tiene como objetivo principal el estudio de los polinomios linealizados y de los códigos de Gabidulin. Comienza sentando la base algebraica, profundizando en la estructura y propiedades de los cuerpos finitos y continuando con una introducción a los códigos lineales, en la que además se relaciona ambas partes entre sí. Después, se introducen los polinomios linealizados abordando sus propiedades algebraicas y se explica en profundidad la métrica del rango. Todo ello es esencial para definir los códigos de Gabidulin, basados en la evaluación de polinomios linealizados en la métrica del rango. Por último, se exponen dos algoritmos para la descodificación de estos particulares códigos y se adjunta un análisis de su complejidad computacional.

The aim of this project is to study linearized polynomials and Gabidulin codes. It begins by establishing the algebraic foundations, exploring the structure and properties of finite fields, and proceeds with an introduction to linear codes, highlighting their connection to the underlying algebraic structures. Then, linearized polynomials are introduced, focusing on their algebraic properties, and the rank metric is explained in detail. These elements are essential for the definition of Gabidulin codes, which are based on the evaluation of linearized polynomials under the rank metric. Finally, two decoding algorithms for these specific codes are presented, along with an analysis of their computational complexity.