Consecuencias y variantes del teorema del módulo máximo

Abstract

El teorema del módulo máximo establece que una función holomorfa y no constante definida en un dominio conexo del plano complejo no puede alcanzar un máximo local del módulo en el interior. Este resultado, fundamental en análisis complejo, admite múltiples generalizaciones y extensiones que han dado lugar a un amplio conjunto de consecuencias teóricas. En este trabajo se presenta una selección de dichas consecuencias, incluyendo su adaptación al marco de funciones armónicas y subarmónicas, los teoremas de Phragmén-Lindelöf en dominios no acotados como sectores y bandas, así como una serie de resultados sobre el comportamiento del módulo máximo en regiones circulares o sectoriales. Estas herramientas permiten estudiar de forma precisa tanto el crecimiento de funciones analíticas como su estructura geométrica.

The maximum modulus theorem states that a holomorphic and non-constant function defined on a connected domain of the complex plane cannot reach a local maximum of the modulus in the interior. This result, fundamental in complex analysis, admits multiple generalisations and extensions that have given rise to a wide range of theoretical consequences. This document exposes a selection of these consequences, including their adaptation to the framework of harmonic and subharmonic functions, the Phragmén-Lindelöf theorems in unbounded domains such as sectors and strips, as well as a series of results on the behaviour of the maximum modulus in circular or sectoral regions. These tools allow for the precise study of both the growth of analytic functions and their geometric structure.