La descomposición en valores singulares: implementación y aplicaciones

Abstract

La descomposición en valores singulares (SVD) es una técnica de gran relevancia en álgebra lineal que descompone matrices rectangulares en factores ortogonales, permitiendo analizar sus propiedades fundamentales como el rango, la norma y los subespacios asociados. En este trabajo de fin de grado se desarrollan los fundamentos teóricos de la SVD, incluyendo su interpretación geométrica y su relación con el teorema de Schur, así como extensiones como la SVD reducida y la descomposición en valores singulares generalizada (GSVD). También se profundiza en la implementación computacional de la SVD mediante métodos como Jacobi y el algoritmo de Demmel-Kahan, realizando un análisis comparativo de su eficiencia y estabilidad numérica. Finalmente, se destacan aplicaciones prácticas en diversos campos, como el filtrado espectral, la detección de movimiento en vídeos, el reconocimiento facial y el análisis de redes neuronales convolucionales, con implementaciones en Python y MATLAB.

The Singular Value Decomposition (SVD) is a highly relevant technique in linear algebra that decomposes rectangular matrices into orthogonal factors, enabling the analysis of fundamental properties such as rank, norm, and associated subspaces. This bachelor’s thesis delves into the theoretical foundations of the SVD, including its geometric interpretation and its relationship with Schur’s theorem, as well as extensions like the reduced SVD and the generalized singular value decomposition (GSVD). It also explores the computational implementation of the SVD through methods such as Jacobi’s and DemmelKahan’s algorithm, performing a comparative analysis of their efficiency and numerical stability. Finally, applications in various fields are highlighted, such as spectral filtering, motion detection, facial recognition, and the analysis of convolutional neural networks, with implementations in Python and MATLAB.