Aproximaciones asintóticas de integrales paramétricas

Abstract

Este trabajo consiste en explicar y aplicar métodos para la aproximación asintótica de integrales paramétricas. Con este fin hacemos en primer lugar un repaso de las relaciones de orden entre funciones que nos permitirá realizar una breve introducción a los desarrollos asintóticos. El trabajo se enfoca principalmente en el desarrollo y demostración de cuatro técnicas para la aproximación asintótica de integrales: la integración por partes, el método de Laplace, el método de la fase estacionaria y el método del descenso rápido. Finalmente, aplicamos los métodos demostrados a la obtención de desarrollos asintóticos de integrales paramétricas relevantes en las matemáticas y en la física, como la integral exponencial, la fórmula de Stirling, la norma de una función y las integrales de Bessel y Airy.

On this work, we aim to explain and apply various methods to obtain asymptotic approximations of parametric integrals. As a preliminary, we recall the usual order-notation between functions in order to give a brief introduction to asymptotic expansions. The work focuses mainly on the development of four methods for the asymptotic approximation of integrals: integration by parts, Laplace’s method, the stationary phase method and the steepest descent method. Finally, we apply the prooved methods to obtain asymptotic expansions of parametric integrals relevant to mathematics and physics, such as the exponential integral, the Stirling formula, the norm of a function, and the Bessel and Airy integrals.