Métodos de Krylov para el problema de autovalores de matrices dispersas

Abstract

El estudio de los problemas de autovalores y autovectores de una matriz es fundamental en el ámbito del ´algebra lineal numérica, especialmente en el contexto donde las matrices involucradas son de gran tamaño o presentan una estructura dispersa. El presente trabajo se centra en el análisis de los principales métodos numéricos empleados para abordar estos problemas. Inicialmente se revisarán conceptos clave como subespacios de Krylov y se desarrollarán técnicas clásicas como el algoritmo QR. Una parte central del trabajo se dedica al proceso de Lanczos, método diseñado para matrices simétricas, destacando su formulación, propiedades, limitaciones y variantes, como la reortogonalización completa. Asimismo, se abordan también métodos diseñados para matrices no simétricas, entre ellos el proceso de Arnoldi y el algoritmo Krylov - Schur.

The study of eigenvalue and eigenvector problems of a matrix is funda- mental in the field of numerical linear algebra, especially in contexts whe- re the matrices involved are large or have a sparse structure. This Degree Thesis focuses on the analysis of the main numerical methods used to ad- dress these problems. Initially, key concepts such as Krylov subspaces are reviewed, and classical techniques such as the QR algorithm are developed. A central part of the work is dedicated to the Lanczos process, a method designed for symmetric matrices, highlighting its formulation, properties, li- mitations, and variants such as full reorthogonalization. Methods designed for non-symmetric matrices are also covered, including the Arnoldi process and the Krylov-Schur algorithm.