Rational methods without order reduction for abstract evolution problems

Abstract

Partial differential equations are fundamental tools for modeling the temporal evolution of a wide range of relevant phenomena in fields such as physics, ecology, and economics. Their use for practical purposes requires the numerical approximation of their solutions, which are generally difficult to obtain analytically. Runge–Kutta methods, widely employed for this purpose, exhibit a reduction in their order of convergence when applied to this type of equations. This phenomenon limits the accuracy and efficiency of numerical simulations, making it necessary to develop new strategies to overcome it. The objective of this document is the design, analysis, and implementation of temporal numerical integration schemes, based on the rational functions of these methods, that avoid this order reduction. These problems are formulated as abstract evolution equations within the framework of semigroup theory of operators, which allows them to be treated in a unified and quite general way. In this manner, the proposed rational methods are developed progressively, starting from linear problems and subsequently incorporating nonlinear terms and boundary conditions. They exhibit good convergence, stability, and efficiency properties, which open the door to their extension to more complex problems and to their application in realistic simulations.

Las ecuaciones en derivadas parciales son herramientas fundamentales para modelar la evolución temporal de multitud de fenómenos relevantes en ámbitos como física, ecología o economía. Su utilización para fines prácticos requiere de la aproximación numérica de sus soluciones, que en general es difícil conocer de forma analítica. Los métodos Runge-Kutta, ampliamente utilizados para tal fin, muestran una reducción en su orden de convergencia cuando se aplican a este tipo de ecuaciones. Este fenómeno limita la precisión y eficiencia de las simulaciones numéricas, lo que hace necesario el desarrollo de nuevas estrategias para evitarla.

El objetivo de esta tesis doctoral es el diseño, análisis e implementación de esquemas de integración numérica temporal, basados en las funciones racionales de dichos métodos, que eviten esta reducción de orden. Estos problemas se formulan como ecuaciones de evolución abstractas, en el marco de la teoría de semigrupos de operadores, lo que permite considerarlos de forma unitaria y con bastante generalidad. De esta forma, los métodos racionales propuestos se desarrollan de forma progresiva, partiendo de problemas lineales, para posteriormente incorporar términos no lineales y condiciones de contorno. Estos muestran buenas propiedades de convergencia, estabilidad y eficiencia que abren la puerta a su extensión a problemas de mayor complejidad y a su aplicación en simulaciones realistas.