Syzygies, regularity, and their interplay with additive combinatorics

Abstract

In this thesis, we study some interactions between commutative algebra and additive combinatorics. Based on recent works by Eliahou and Mazumdar, Elias, and Colarte-Gómez, Elias and Miró-Roig, we associate with each finite set A ⊂ ℕᵈ a projective toric variety X⊂ ℙₖⁿ, where k is an infinite field and n = |A|-1. We focus on the study of the sumsets of A and the Castelnuovo-Mumford regularity of [k], the coordinate ring of X. In particular, we look at the cases when X is a curve, a smooth variety, and a surface with a single singular point. Moreover, when X is a curve C, we study the relation between the Betti numbers of k [C] and its affine charts. Finally, we provide an explicit method to compute the minimal graded free resolution of R/I as A-module, where I ⊂ R = k[x₁,…,xₙ] is a weighted homogeneous ideal and A, the polynomial ring in the last d variables, is a Noether normalization of R/I.

En esta tesis, estudiamos algunas interacciones entre el ´algebra conmutativa y la combinatoria aditiva. Bas´andonos en los recientes trabajos de Eliahou [31], Elias [32], y Colarte-G´omez, Elias y Mir´o-Roig [18], a cada conjunto finito A ⊂ Nd le asociamos una variedad t´orica proyectiva X ⊂ Pn k , donde k es un cuerpo infinito y n = |A|−1. Nos centramos en el estudio de los conjuntos suma de A y la regularidad de Castelnuovo-Mumford de k[X], el anillo de coordenadas de X. En particular, nos fijamos en los casos en que X es una curva, una variedad lisa o una superficie con un ´unico punto singular. Adem´as, cuando X es una curva C, estudiamos la relaci´on entre los n´umeros de Betti de k[C] y sus cartas afines. Por ´ultimo, proporcionamos un m´etodo expl´ıcito para construir la resoluci´on libre minimal graduada de R/I como A-m´odulo, donde I ⊂ R = k[x1, . . . , xn] es un ideal homog´eneo para unos ciertos pesos y A = k[xn−d+1, . . . , xn], suponiendo que las variables est´an en posici´on de Noether.