Dynamics and Interaction of Solitons in the BPS Limit and their Internal Modes

Abstract

Solitons are special solutions of nonlinear classical field theories that behave like extended particle-like states. They are of considerable interest both in classical physics and quantum field theory, with applications ranging from condensed matter and nuclear physics to cosmology.

These non-perturbative objects can be classified as stable or unstable, depending on whether they display dispersive behaviour. Stable solitons fall into two broad categories. Topological solitons, such as kinks, vortices, and monopoles, derive their stability from topological invariants. Within the class of field theories that admit topological solitons, BPS theories (Bogomolny–Prasad–Sommerfield) are especially notable, since their solitons exhibit no static interactions, allowing multiple configurations to exist with the same energy. BPS solutions satisfy first-order differential equations that automatically solve the static Euler-Lagrange equations. In contrast, non-topological solitons —including Q-balls, soliton stars, and oscillons— are stabilised by conserved charges of global symmetries, by the integrability of the theory, or by specific adiabatic invariants. Finally, unstable solitons, such as sphalerons, represent metastable configurations.

Solitons also possess a rich internal structure, which can be understood in terms of collective excitations around the base configuration. These excitations may lead to fragmentation into more elementary entities, oscillations that modify the soliton’s size, or new dynamical behaviours during its evolution. Such modes may be triggered after a phase transition or during interactions with other solitons, impurities, or incoming radiation.

The main purpose of this thesis has been to examine soliton dynamics, with particular attention to the role of internal modes. The research has focused on one- and two-dimensional models, providing a foundation for extending the analysis to three-dimensional theories. Among the wide variety of solitons, this thesis concentrates on kinks, oscillons, vortices, and sphalerons. Nevertheless, field theories possess infinitely many degrees of freedom, which makes both analytic solutions and predictive modelling highly challenging. To address this, the work develops effective models that retain only the essential degrees of freedom, employing the well-established collective coordinate method. Additional tools, such as perturbative techniques, have also been applied.

Among the main contributions, it is worth highlighting, first, the incorporation—for the first time within the collective coordinate framework—of genuine radiation modes, which makes it possible to describe phenomena of radiation emission and interaction in solitonic systems. Secondly, a generalisation of Samols’ moduli space metric for local vortices in the Abelian–Higgs model has been achieved by incorporating vibrational degrees of freedom. This extension allows the construction of accurate initial conditions for effective models of vortex–vortex collisions. Moreover, a new class of sphalerons, termed semi-BPS sphalerons, has been identified and studied. These exhibit properties closely analogous to those of BPS solitons. Finally, the role of oscillatory internal modes in the decay process of sphalerons has been studied in detail, leading to the proposal of a dynamic stabilisation mechanism. This mechanism has been further explained and extended to more general models, demonstrating the robustness and potential applicability of this phenomenon to physically relevant theories.

Los solitones son soluciones particulares de teorías de campos clásicos no lineales que se comportan como estados extendidos semejantes a partículas. Resultan de gran interés tanto en física clásica como en teoría cuántica de campos, además de tener aplicaciones en la materia condensada, la física nuclear y la cosmología.

Estos objetos no perturbativos pueden clasificarse en estables o inestables, según presenten o no comportamiento dispersivo. Entre los solitones estables existen dos grandes categorías. Los solitones topológicos, como los kinks, los vórtices y los monopolos, deben su estabilidad a invariantes topológicos. Dentro de la clase de teorías de campos que admiten solitones topológicos, destacan las teorías BPS (Bogomolny–Prasad–Sommerfield), cuyas soluciones no presentan interacciones estáticas, lo que permite la coexistencia de múltiples configuraciones con la misma energía. Además, las soluciones BPS satisfacen ecuaciones diferenciales de primer orden que resuelven automáticamente las ecuaciones de Euler–Lagrange estáticas. Por otro lado, los solitones no topológicos —como las Q-balls, las estrellas de solitones y los oscilones— se estabilizan gracias a cargas conservadas asociadas a simetrías globales, a la integrabilidad de la teoría o a ciertos invariantes adiabáticos. En cambio, los solitones inestables, como los esfalerones, representan configuraciones metaestables.

Los solitones poseen además una compleja estructura interna, que puede interpretarse en términos de excitaciones colectivas alrededor de la configuración base. Estas excitaciones pueden dar lugar a fenómenos como la fragmentación en entidades más elementales, oscilaciones que modifican el tamaño del solitón o comportamientos dinámicos durante su evolución. Dichos modos pueden originarse tras una transición de fase o bien surgir durante interacciones con otros solitones, impurezas o radiación incidente.

El objetivo principal de esta tesis ha sido analizar la dinámica de solitones, prestando especial atención al papel de los modos internos. La investigación se ha centrado en modelos unidimensionales y bidimensionales, con la finalidad de establecer una base sólida que permita extender el estudio a teorías tridimensionales. Entre la amplia variedad de solitones, este trabajo se concentra en kinks, oscilones, vórtices y esfalerones. Sin embargo, las teorías de campos presentan un número infinito de grados de libertad, lo que dificulta tanto la obtención de soluciones analíticas como la construcción de modelos predictivos. Para afrontar este desafío, la tesis desarrolla modelos efectivos que conservan únicamente los grados de libertad esenciales, utilizando el conocido método de coordenadas colectivas. Asimismo, se han empleado técnicas complementarias, como métodos perturbativos.

Entre las aportaciones principales destacan, en primer lugar, la incorporación —por primera vez en el marco de coordenadas colectivas— de modos de radiación genuinos, lo que permite describir fenómenos de emisión e interacción de radiación en sistemas solitónicos. En segundo lugar, se ha desarrollado una generalización de la métrica del espacio de módulos de Samols para vórtices locales en el modelo de Abeliano–Higgs, mediante la inclusión de grados de libertad vibracionales. Esta extensión proporciona condiciones iniciales adecuadas para modelar colisiones de vórtices en modelos efectivos. Además, se ha identificado y estudiado una nueva clase de esfalerones, denominados semi-BPS, que presentan propiedades análogas a las de los solitones BPS. Finalmente, se ha analizado en detalle el papel de los modos internos oscilatorios en el proceso de decaimiento de los esfalerones, lo que nos ha permitido proponer un mecanismo de estabilización dinámica que ha sido explicado y posteriormente extendido a otros modelos más generales, lo cual muestra la robustez y la posible aplicabilidad de este fenómeno a modelos de mayor interés físico.