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dc
Samperio Valdivieso, Álvaro
author
2019
El TFG está dedicado a estudiar las propiedades conceptuales y técnicas de las
familias entrelazadas de polinomios con coeficientes y raíces reales y a la reciente
prueba de la Conjetura de Kadison-Singer, propuesta en 1959 por Richard Kadison
(1925-2008) e Isadore Singer (1924) y resuelta positivamente por Adam Marcus, Daniel
Spielman y Nikhil Srivastava en 2013. Los especialistas siempre habían dudado
de que la conjetura fuese cierta, y se habían formulado nuevos enunciados equivalentes
o relacionados con ella en términos elementales. Su solución se obtuvo utilizando
también técnicas elementales, las de las familias de polinomios entrelazados.
La técnica de polinomios entrelazados permitió simultáneamente a Adam Marcus,
Daniel Spielman y Nikhil Srivastava probar la existencia de grafos de Ramanujan
regulares bipartitos de grado arbitrario y número de vértices arbitrariamente grande,
resolviendo así parcialmente otro problema clásico de las matemáticas. El grado de
un vértice de un grafo es el número de aristas que confluyen en él, el grafo es regular
cuando todos los vértices tienen el mismo grado, que entonces se llama grado del grafo.
Los grafos de Ramanujan regulares son aquellos que tienen una densidad óptima de
distribución relativa de sus vértices, y se caracterizan por ser los que su función
zeta (la función zeta de Ihara) satisface la hipótesis de Riemann. El problema de
existencia de grafos de Ramanujan no bipartitos de grado arbitario y número de
vértices arbitrariamente grande aún permanece abierto.
La conjetura de Kadison-Singer afirmaba que cada estado puro en la C*-álgebra
operadores lineales diagonales sobre un espacio de Hilbert separable tiene una única
extensión a la C*-álgebra de todos los operadores de dicho espacio. Se sabía que la
conjetura era equivalente a otros enunciados sobre espacios de Hilbert de dimensión
finita y, en particular, al formulado en 2004 por Weaver.
http://uvadoc.uva.es/handle/10324/38224
Familias de polinomios entrelazados. La Conjetura de Kadison-Singer