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T1 Métodos de Krylov para sistemas lineales dispersos de ecuaciones. El teorema de Faber-Manteuffel
A1 Méndez Pérez, Ana
A2 Universidad de Valladolid. Facultad de Ciencias
K1 Subespacios de Krylov
K1 Matriz dispersa
K1 Aproximación de la solución
AB El trabajo consta de cuatro capítulos, cuyo contenido pasamos a describir:1. El primer capítulo motiva los métodos iterativos para la resolución desistemas lineales, describiendo con carácter general la metodología delos métodos que en cada iteración determinan la aproximación a lasolución mediante proyección sobre un subespacio apropiado. En losmétodos de Krylov estos subespacios son precisamente subespacios deKrylov. La construcción de bases ortogonales de estos subespacios es elobjeto del algoritmo de Arnoldi, para matrices no simétricas, y el algoritmosimétrico de Lanczos cuando la matriz del sistema es simétrica,para los que se dan las correspondientes interpretaciones matriciales.2. Aunque en el Grado se estudia el método gradiente conjugado parasistemas con matriz simétrica y definida positiva, se recupera en estecapítulo su formulación como un método de proyeccién sobre un subespacioapropiado de Krylov, probando el teorema de convergencia. Laparte más novedosa del capítulo aborda la descripción de otros métodosde Krylov, para sistemas lineales con matrices simétricas pero nodefinidas positivas o sistemas con matrices simplemente no simétricas:FOM (ortogonalización completa), GMRES (residuos mínimos generalizados),GMRES(m) (residuos mínimos generalizados con truncación)y MINRES (residuos mínimos). Estos métodos se implementarán enrutinas MATLAB propias en la experimentación numérica que ilustralos mismos en el capítulo 4. Las limitaciones de tiempo y espacio dejanfuera de cobertura otros métodos de Krylov de interés práctico: Bi-CG(gradientes biconjugados), Bi-CGSTAB (gradientes biconjugados estabilizados),etc., pero los métodos presentados ilustran ya el gran costoque supone el no disponer de recurrencias cortas para la construcción delos sucesivos iterantes, y que motiva el problema teórico que abordamosen el siguiente capítulo.3. En 1981 Gene Golub planteó la cuestión de si sería posible para sis-temas lineales con matrices no simétricas construir un método que encada iteración optimizara sobre un espacio de Krylov con respecto a unanorma proveniente de un producto interno y que requiriera únicamenterecurrencias de tres términos, tal y como ocurre en el método gradienteconjugado. Faber y Manteuffel caracterizaron las matrices para las queesto es posible, respondiendo negativamente a la cuestión salvo parasituaciones que ya eran bien conocidas: o bien el polinomio mínimo dela matriz es cúbico, o la matriz es hermética o la matriz adjunta de lamatriz del sistema (matriz traspuesta conjugada) se expresa como unpolinomio lineal de la propia matriz. La formulación y prueba del teoremade Faber y Manteuffel es el objetivo del tercer capítulo. La pruebanecesita de bastantes resultados técnicos de la teoría de matrices, dealgunos de los cuales hacemos uso en base a su estudio a lo largo delGrado: por ejemplo, polinomio mínimos de un vector y de una matriz,propiedades generales de las matrices normales, producto exterior devectores, etc.4. El cuarto capítulo ilustra algunos experimentos numéricos con los métodosgradiente conjugado, MINRES y GMRES sobre problemas test conmatrices grandes y dispersas que se toman de la colección Harwell-Boeing en el Matrix Market, un depósito de matrices test para la comparación de algoritmos de álgebra lineal. Como en algunos de los experimentosfué necesario preacondicionar previamente las matrices, sedescribe este proceso de forma somera cuando se implementa utilizandola factorización LU o de Cholesky incompletas de la matriz del sistema.
YR 2021
FD 2021
LK https://uvadoc.uva.es/handle/10324/50589
UL https://uvadoc.uva.es/handle/10324/50589
LA spa
DS UVaDOC
RD 27-nov-2024