Métodos numéricos para la valoración de opciones

Abstract

El objetivo de este trabajo de fin de grado es dar una introducción elemental al uso de métodos en diferencias finitas para la resolución numérica de las ecuaciones en derivadas parciales que aparecen en la modelización de los derivados financieros, en particular de los contratos de opciones. La teoría moderna de las Finanzas Matemáticas se inicia con los artículos de F. Black, M. Scholes [1] y R.C. Merton [7]. Desde entonces y en paralelo con la teoría, el comercio de opciones y otros derivados financieros se ha desarrollado enormemente en todos los mercados del mundo. Existe una literatura muy extensa que trata sobre la valoración de productos financieros tanto desde el punto de vista de la modelización matemática como de los métodos numéricos eficientes y fiables para su aproximación. Aunque hay diferentes puntos de vista, la modelización mediante ecuaciones en derivadas parciales es una de las técnicas más utilizadas en la teoría de las Finanzas Matemáticas. Para algunos modelos, los más simples, existen fórmulas cerradas que permiten su utilización sencilla desde un punto de vista tanto cuantitativo como cualitativo. Otras veces se utilizan aproximaciones semianalíticas o se utilizan modelos aproximados para los que sí existen fórmulas cerradas. Sin embargo en la mayoría de las ocasiones es necesario algún tipo de aproximación numérica. Este trabajo se centra principalmente en los métodos en diferencias finitas que son los más sencillos en el contexto de la modelización mediante ecuaciones en derivadas parciales. En este trabajo se ponen en contexto algunos conceptos de finanzas y modelado de activos, se introducen las opciones Europeas y Americanas y se da una solución al problema de la valoración de dichas opciones, por medio de métodos en diferencias finitas. Para la redacción de este trabajo hemos seguido principalmente, aunque no exclusivamente, el libro [11] y las notas [3].