La descomposición en valores singulares

Abstract

El Trabajo Fin de Grado que presentamos tiene por objeto el estudio de la descomposición en valores singulares de una matriz. En la Sección 1 se incluyen los resultados teóricos más relevantes relacionados con dicha descomposición. Cabe destacar el teorema de descomposición que establece que cualquier matriz A 2 Rm n se puede escribir como un producto A = U V T , donde U 2 Rm m y V 2 Rn n son matrices ortogonales y 2 Rm n es una matriz cuyos elementos no nulos están situados en las primeras r posiciones de la diagonal principal, siendo r el rango de A. En la Sección 2 se explican con detalle los algoritmos que permiten calcular en la práctica y de un modo eficiente la descomposición en valores singulares de una matriz. Dichos algoritmos han sido implementados en MATLAB y los programas se han incluido en el Apéndice. En la Sección 3 se recogen dos aplicaciones reales de la descomposición en valores singulares. La primera relacionada con la compresión y transmisión de imágenes, ilustra el interés de uno de los teoremas de aproximación que se han estudiado en la Sección 1. La segunda corresponde a un ejemplo de Climatología, donde se estudia la covariabilidad entre las precipitaciones en la costa mediterránea española y las alturas geopotenciales en la zona de Atlántico Norte y Europa. En el Apéndice se incluyen los programas en MATLAB que implementan los algoritmos descritos en la Sección 2 y un programa en MATLAB que permite visualizar gráficamente la actuación paso a paso de dichos algoritmos.