Familias de polinomios entrelazados. La Conjetura de Kadison-Singer

Abstract

El TFG está dedicado a estudiar las propiedades conceptuales y técnicas de las familias entrelazadas de polinomios con coeficientes y raíces reales y a la reciente prueba de la Conjetura de Kadison-Singer, propuesta en 1959 por Richard Kadison (1925-2008) e Isadore Singer (1924) y resuelta positivamente por Adam Marcus, Daniel Spielman y Nikhil Srivastava en 2013. Los especialistas siempre habían dudado de que la conjetura fuese cierta, y se habían formulado nuevos enunciados equivalentes o relacionados con ella en términos elementales. Su solución se obtuvo utilizando también técnicas elementales, las de las familias de polinomios entrelazados. La técnica de polinomios entrelazados permitió simultáneamente a Adam Marcus, Daniel Spielman y Nikhil Srivastava probar la existencia de grafos de Ramanujan regulares bipartitos de grado arbitrario y número de vértices arbitrariamente grande, resolviendo así parcialmente otro problema clásico de las matemáticas. El grado de un vértice de un grafo es el número de aristas que confluyen en él, el grafo es regular cuando todos los vértices tienen el mismo grado, que entonces se llama grado del grafo. Los grafos de Ramanujan regulares son aquellos que tienen una densidad óptima de distribución relativa de sus vértices, y se caracterizan por ser los que su función zeta (la función zeta de Ihara) satisface la hipótesis de Riemann. El problema de existencia de grafos de Ramanujan no bipartitos de grado arbitario y número de vértices arbitrariamente grande aún permanece abierto. La conjetura de Kadison-Singer afirmaba que cada estado puro en la C*-álgebra operadores lineales diagonales sobre un espacio de Hilbert separable tiene una única extensión a la C*-álgebra de todos los operadores de dicho espacio. Se sabía que la conjetura era equivalente a otros enunciados sobre espacios de Hilbert de dimensión finita y, en particular, al formulado en 2004 por Weaver.