El objetivo de este Trabajo Fin de Grado es presentar una introducción de la
teoría de la Transformación de Laplace, tanto de funciones como de distribuciones
o funciones generalizadas, desde el punto de vista del Análisis Matemático
moderno.
Aunque existen una gran cantidad de textos en la literatura que hacen referencia
a la Transformada de Laplace, debido principalmente a sus aplicaciones
a la hora de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales, esta se
suele presentar en el marco de la integral de Riemann y definiendo axiomáticamente
las distribuciones y postulando sus propiedades, con el fin de estar
al alcance de estudiantes de otras disciplinas sin conocimientos avanzados de
análisis matemático. La referencia más importante en esta disciplina es un libro
escrito por el matemático alemán Gustav Doetsch [Doe74], cuya primera
edición data de 1937. Aunque en este texto ya se tratan la mayoría de los problemas
de la Transformada de Laplace, se evita por completo la utilización de
la integral de Lebesgue, limitándose a indicar en algunos casos que las pruebas
se pueden simplificar utilizando técnicas más avanzadas. En este trabajo
se pretende desarrollar la teoría utilizando técnicas propias del Análisis Real,
como la integral de Lebesgue, y del Análisis Funcional en el que se apoya la
teoría de distribuciones, lo que permite probar de forma más directa muchas
de las propiedades tratadas.
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