Regularidad de Castelnuovo-Mumford e ideales iniciales genéricos

Abstract

La regularidad de Castelnuovo-Mumford de un ideal homogéneo es una medida importante de la complejidad del ideal. Mide, en particular, lo difícil que será construir una resoluci ón libre minimal graduada del ideal ya que proporciona una cota superior para el grado de sus sizigias en cada paso de una resolución libre minimal graduada. En este trabajo presentaremos un método efectivo para el cálculo de la regularidad sin pasar por la construcción de una resolución. Este método se basa en varios trabajos de Bermejo y Gimenez que hicieron efectivos los resultados clásicos de Bayer y Stillman. Primero estudiaremos las resoluciones libres y la información que podemos obtener a partir de ellas. A continuación se estudiarán las propiedades de los ideales iniciales genéricos y también de los ideales monomiales de tipo encajado, así como los resultados que nos dan su relación con la regularidad de Castelnuovo-Mumford y otros invariantes del ideal. Finalmente, haremos mención a algunas cotas para la regularidad, en particular la conjetura de Eisenbud-Goto, que ha sido resuelta en negativo recientemente.