Soluciones analíticas de ecuaciones en derivadas parciales no lineales de interés en física

Abstract

En este Trabajo Fin de Grado estudiamos dos métodos que se emplean en el ámbito de la Física Matemática para obtener soluciones analíticas de ecuaciones en derivadas parciales. En primer lugar abordamos la transformación de scattering inverso, la cual permite resolver problemas de valores iniciales para determinadas ecuaciones en derivadas parciales no lineales. Para ello, será necesario también un estudio del problema de scattering de la Mecánica Cuántica. En segundo lugar introducimos las transformaciones de Darboux, que establecen una jerarquía de ecuaciones en derivadas parciales a partir de una dada y proporcionan expresiones explícitas para sus soluciones. Para ilustrar estos métodos, los aplicaremos a la ecuación KdV, una de las ecuaciones más conocidas y estudiadas en la Física y analizaremos el comportamiento de algunos tipos de soluciones que presenta.

In this Final Degree Project we study two methods used in the field of Mathematical Physics to analytically solve partial differential equations. First we focus on the inverse scattering transform which allows solving certain initial value problems for nonlinear partial differential equations. For this it will be necessary to introduce the scattering problem that arises in Quantum Mechanics. Secondly, we study Darboux transformations, which generate a hierarchy of partial differential equations from a given one and allow to solve the entire hierarchy giving explicit expressions of the solutions. We apply these methods to the well-known KdV equation and we study the behavior of some of its solutions.