Órdenes entre distribuciones de probabilidad

Abstract

Una cuestión que tenemos muy presente en el día a día es comparar. Lo hacemos por ejemplo al tratar de ver cuál de entre dos cantidades es más grande, cuál de entre dos cualidades es mejor... Si se introducen los términos estadísticos adecuados, modelando las distribuciones de los fenómenos observados en una cierta población, el orden estocástico entre dos distribuciones de probabilidad nos permite dar una respuesta global a estas comparaciones, más adecuada en muchas situaciones que las más simples y habituales que se limitan a comparar características como la media, la mediana o la varianza. Este concepto también se utiliza en ámbitos más específicos como en economía, medicina o sociología, permitiéndonos además resolver cuestiones más propias de la estadística descriptiva. El estudio de este tipo de comparación se remonta a Mann y Whitney ([24], 1947) y a Lehmann ([21], 1955). La motivación de este Trabajo Fin de Grado consiste en mostrar algunas de las definiciones de orden estocástico existentes, cada una de las cuales nos permite resolver problemas como el de estudiar si una característica es mayor en una determinada población que en otra o el de comparar su variabilidad. Por ejemplo, la afirmación de que los hombres son más altos que las mujeres puede analizarse a través del orden estocástico e involucra una comparación del estatus de cada individuo de un grupo visto como si fuera individuo del otro grupo. Si para cada uno de ellos su estatus mejora (tal como decir que un hombre de una cierta altura parecería tener una altura mayor entre las mujeres) estamos entonces ante la presencia de orden estocástico, de modo que obtenemos así un enfoque novedoso que supone una relación global entre las distribuciones implicadas. El gran inconveniente que presenta es que en algunas ocasiones el concepto de orden estocástico es demasiado rígido, puesto que supone una relación entre las distribuciones que o bien existe o bien no. Por esta razón en este trabajo se estudiarán también algunas versiones más débiles que nos permitirán resolver el problema de una manera aproximada así como adaptarlo a escenarios apropiados según cada caso que consideremos. Esta perspectiva nos da además la posibilidad de determinar un nivel de desviación respecto a la relación de orden que será fundamental al tratar con muestras. Para mostrar su utilidad se incluye un análisis de la evolución del envejecimiento en España a lo largo de los últimos años así como su evolución prevista en los próximos, en el cual se comparan los datos de edad de la población durante varios periodos de tiempo.