Espacios vectoriales topológicos ponderados de funciones analíticas. Operadores de composición ponderados

Abstract

Dada una función peso no negativa v sobre un abierto conexo G del plano complejo buscaremos condiciones bajo las cuales el espacio H∞ v (G) de todas las funciones holomorfas sobre G tales que el producto v |f| esté acotado en G sea normado y completo según la seminorma ∥f∥v = sup z∈G v(z) |f(z)| . También estudiaremos la continuidad y compacidad de los operadores de composición ponderados Cφ,ψ entre los espacios de Banach H∞ v (D), con v una función peso, estrictamente positiva, continua, radial y no decreciente. Estos operadores vienen dados por dos funciones holomorfas φ, ψ, de modo que φ(D) ⊂ D y se definen por Cφ,ψ(f)(z) = ψ(z)φ(f(z)). Antes de hablar de los espacios de funciones holomorfas ponderados H∞ v (G), introduciremos varios resultados de Análisis Funcional y Análisis Complejo, que nos darán el contexto y las herramientas necesarias para trabajar con estos espacios y llegar a los resultados deseados.

Taking a non-negative weight function v defined on an open and connected set G of the complex plane our goal is to find conditions under which the space H∞ v (G) of all holomorphic functions bounded in G, is normed and complete under the seminorm ∥f∥v = sup z∈G v(z) |f(z)| . Additionally, we study the continuity and compactness of weighted composition operators Cφ,ψ between the Banach spaces H∞ v (D), with v being a weight function that is strictly positive, continuous, radial, and non decreasing. The operators are described by two holomorphic functions φ, ψ such that φ(D) ⊂ D and defined as Cφ,ψ(f)(z) = ψ(z)φ(f(z)). Before we proceed to the weighted spaces of holomorphic functions H∞ v (G), we want to introduce a few results from functional analysis and complex analysis, which will provide us with the necessary context and tools to work on these spaces and get the desired results.