Topología diferencial: introducción y algunas aplicaciones

Abstract

En este trabajo nos vamos a centrar en variedades diferenciables (con o sin borde) sumergidas en Rn, y se van a recoger como ideas centrales la transversalidad y la aproximación. La transversalidad va a servir para garantizar que la preimagen por una aplicación diferenciable de una subvariedad de otra va a ser de nuevo una variedad, y la aproximación cuando las condiciones de partida de un problema se van a poder cambiar por unas condiciones similares sobre las que podamos trabajar empleando la topología diferencial. Con estas técnicas se van a demostrar una serie de resultados importantes que se pueden obtener como fruto de una teoría subyacente común, mucho más intuitiva que la extremadamente compleja maquinaria matemática de la topología algebraica, la homología y la cohomología. Estos teoremas son, por orden de aparición, el teorema de clasificación de curvas topológicas y diferenciables, el teorema del punto fijo de Brouwer, el teorema de invarianza del dominio y el teorema de separación de Jordan-Brouwer. A lo largo del trabajo se enuncian algunos resultados sin demostración. La razón de ello no es la dificultad de las mismas, sino el hecho de que incluirlas alargaría el trabajo más de lo razonable. La inspiración principal del texto reside en el curso de topología diferencial de Outeruelo, Ruiz y Rojo [1]. En este marco siempre resulta imprescindible mencionar el libro de Milnor [5], cuyo título resume muy bien nuestra intención, que es hacer topología desde el punto de vista diferenciable.