El teorema de Poincaré-Hopf

Abstract

El trabajo que aquí se presenta busca, desde un punto de vista principalmente geométrico, ofrecer una vía de demostración de una versión particular del teorema de Poincaré-Hopf para el caso de superficies compactas sumergidas en R3. El desarrollo que aquí se expone busca distanciarse del tradicional estudio local de las superficies mediante parametrizaciones, resultando un trabajo enmarcado mayormente en el ámbito de la Geometría Diferencial global que se alinea con los objetivos de la geometría moderna. Para finalizar el desarrollo de la parte geométrica de la prueba del teorema de Poincaré-Hopf que aquí se expone, se prueba una versión también global del conocido teorema de Gauss-Bonnet, alejada de la formulación original en términos de triángulos geodésicos y relacionada con el índice de los ceros de un campo vectorial tangente a la superficie, cuyas propiedades se estudian exhaustivamente.