La Paradoja de San Petersburgo

Abstract

En este trabajo realizamos un recorrido histórico y crítico de las soluciones del problema desde su publicación hasta la actualidad. Partiendo de las soluciones originales a la Paradoja de San Petersburgo, realizadas por Gabriel Cramer y Daniel Bernoulli. Los estudios de este último se consideran el origen de la Teoría de la utilidad esperada, campo muy prolífico de la economía al que también dedicaremos un capítulo. Una vez establecida la teoría de la probabilidad moderna, introducida por Kolmogorov en 1933, William Feller [Feller W. 1945] en 1945 da a la Paradoja de San Petersburgo un tratamiento contemporáneo al problema. El análisis de Feller supone el punto de partida del estudio de la Paradoja de San Petersburgo de todos los matemáticos posteriores a él. Feller pone el foco en el comportamiento asintótico de los juegos de San Petersburgo, es decir, ya no se analiza un solo juego de San Petersburgo, si no una cantidad grande de juegos consecutivos. Años después, en 1949, Hugo Steinhaus parte de lo propuesto por Feller desde un punto de vista estadístico, más que probabilístico. Frente a una cuota de entrada para el juego constante, Steinhaus [Steinhaus H. 1949] propone una sucesión de cuotas variables, la sucesión de Steinhaus. Tanto Feller como Steinhaus dan propuestas de cuotas de entrada razonables, pero no del todo satisfactorias, como veremos. No es hasta el trabajo presentado por Martin-Löf [Martin-Löf A. 1985] que aparece una expresión explícita de las ganancias del juego de San Petersburgo. A partir de esta, podemos dar una cuota de entrada que, con fiabilidad arbitraria, cubra los premios. Esta era la pregunta original de Bernoulli: por cuánto se debe vender la suerte de jugar al juego de San Petersburgo.