Prolongación analítica de funciones holomorfas

Abstract

En este TFG se explicará con profundidad el concepto de prolongación analítica de una función compleja holomorfa. En el primer capítulo se expondrán definiciones y ejemplos de prolongación analítica directa junto con el resultado del principio de Reflexión de Schwarz y sus variantes. En el segundo capítulo explicaremos la prolongación analítica a lo largo de una curva contenida en IC junto con varios resultados, entre ellos el teorema de Monodromía. En el tercer capítulo estudiaremos resultados que justifican mediante su expresión en serie de potencias, cuándo una función se puede prolongar o no (series !acunares). En el cuarto capítulo expondremos ejemplos de prolongación analítica que nos dan funciones muy importantes en matemáticas como la zeta de Riemann. En el último capítulo se demostrará que la solución de un sistema lineal de ecuaciones diferenciales puede prolongarse a lo largo de caminos contenidos en el dominio de definición y se probará que existen soluciones holomorfas en dicho dominio si este es simplemente conexo.

The aim is to introduce concepts and results about analytic continuation, for example, the Schwarz Reflexion with several variants, and introduce examples of holomorfic extendible functions, for example, the Riemann function. One of most important analytic continuation is along the curve. We'll tell definitions and properties with about this concept , and will enunciate and prove the mo­ nodromy theorem. Also we'll ilustrate functions that cannot be extended. In the end, We'll prove that solutions of linnear diferencial equations can be extended along paht contained in a simply connected domain .