Transformadas supersimétricas de sistemas cuánticos unidimensionales

Abstract

This thesis presents a study of various supersymmetric transformations applied to certain one-dimensional quantum mechanics problems. Two systems have been addressed: the free Hamiltonian restricted to an interval of the real line, and the hyperbolic Rosen-Morse potential.

The first part of this work involved studying the self-adjoint extensions of the one-dimensional free Hamiltonian restricted to a symmetric interval $(−a,a)$. This involved characterizing the spectrum and wave functions associated with each of the self-adjoint extensions. Subsequent transformations of the obtained extensions led to new one-dimensional quantum systems, which could not have been derived from the typical solutions found in textbooks.

The second part focuses on the study of the poles of the S-matrix associated with the Rosen-Morse II potential. The study of this non-symmetric potential results in the emergence of a type of pole that has been little studied in recent literature. The asymptotic analysis results of this potential were used to derive different types of supersymmetry.

Furthermore, new relationships for the exchange operators of this potential have been derived. These may, in the future, enable the derivation of simplified versions of the ladder operators associated with this system.

Esta tesis presenta un estudio de distintas transformadas supersimétricas aplicadas sobre ciertos problemas de mecánica cuántica en una dimensión. Se han abordado dos sistemas: el hamiltoniano libre restringido a un intervalo de la recta real, y el potencial Rosen-Morse hiperbólico.

La primera parte de este trabajo ha consistido en estudiar las extensiones autoadjuntas del hamiltoniano libre en una dimensión restringido a un intervalo simétrico $(-a,a)$, caracterizando el espectro y funciones de onda asociadas a cada una de las extensiones autoadjuntas. Después se han realizado distintas transformadas de las extensiones obtenidas, llegado a nuevos sistemas cuánticos unidimensionales, a los cuales no se podría haber llegado considerando la solución típica de los libros de texto.

La segunda parte trata sobre el estudio de los polos de la matriz S asociada al potencial Rosen-Morse II. El estudio de este potencial no simétrico lleva a la aparición de un tipo de polo poco estudiado en la literatura reciente. Se han utilizado los resultados del análisis asintótico de este potencial para la obtención de distintos tipos de supersimetría. Además, se han derivado nuevas relaciones para los operadores de intercambio de este potencial, que en un futuro podrían permitir obtener versiones simplificadas de los operadores escalera asociados a este sistema.