La aplicación de Borel en clases ultradiferenciables

Abstract

Una clase ultradiferenciable en un intervalo de la recta real es un subespacio vectorial del espacio de funciones complejas indefinidamente derivables definido mediante la restricción del crecimiento de las derivadas de sus elementos. Cuando dicha restricción se establece en términos de una sucesión de números reales positivos, dichas clases se denominan de Denjoy-Carleman, y son de dos tipos, Roumieu o Beurling, en función del uso de un cuantificador existencial o universal en su definición. El objetivo fundamental del trabajo es presentar los resultados de inyectividad y sobreyectividad de la aplicación de Borel, que envía a cada función en la sucesión de sus derivadas sucesivas en un punto fijo, y que se define de forma natural de una clase ultradiferenciable de Denjoy-Carleman, bien en el sentido de Roumieu o en el de Beurling, en el correspondiente espacio de sucesiones numéricas sujetas a las restricciones adecuadas de crecimiento. Cuando se tiene sobreyectividad, es posible también caracterizar la existencia de inversa lineal y continua por la derecha para la aplicación de Borel, conocida como operador de extensión.