El refinamiento iterativo en la resolución de sistemas lineales cuando se combinan varias precisiones

Abstract

En esta memoria se abordará en profundidad el método de refinamiento iterativo, una estrategia orientada a mejorar la precisión de soluciones aproximadas de sistemas lineales. Se comenzará con un análisis detallado del efecto de los errores de redondeo cuando los residuos se calculan con una precisión doble respecto a la utilizada en la resolución de los sistemas triangulares implicados. Además, se explorarán otros resultados que respaldan el empleo de esta técnica utilizando hasta tres niveles distintos de precisión, así como su aplicación en sistemas lineales mal acondicionados. Finalmente, se estudiarán diferentes familias de matrices que se utilizarán para ilustrar el comportamiento de algunas de las metodologías implementadas, utilizando la simulación de aritmética en coma flotante de múltiples precisiones que ofrece MATLAB, y se mostrarán los resultados numéricos obtenidos.

This report will take an in-depth look at the iterative refinement method, a strategy aimed at improving the accuracy of approximate solutions to linear systems. It will begin with a detailed analysis of the effect of rounding errors when the residuals are calculated with twice the precision used in solving the triangular systems involved. In addition, other results supporting the use of this technique will be explored, using up to three different levels of precision, as well as its application in ill-conditioned linear systems. Finally, different families of matrices will be studied to illustrate the behaviour of some of the implemented methodologies, using the multi-precision floating-point arithmetic simulation offered by MATLAB, and the numerical results obtained will be shown.