Construcción de la medida de Haar y sus aplicaciones

Abstract

La medida de Haar es una herramienta utilizada en numerosas áreas de las matemáticas y de la física teórica. Se trata de una medida que se puede construir en algunos grupos topológicos, y que es invariante bajo traslaciones vía la operación de grupo. En este trabajo se da una construcción de la medida de Haar en grupos topológicos localmente compactos, y se prueba su unicidad salvo constante multiplicativa. También se demuestra la existencia de una medida G-invariante en los espacios cocientes G/H donde H es un subgrupo cerrado de G. Finalmente, se demuestra, utilizando dominios de Siegel, que la medida G-invariante del cociente SL(n, R)/SL(n, Z) es finita.

The Haar measure is a tool used in numerous areas of mathematics and theoretical physiscs. It is a measure that can be constructed in some topological groups, and it is invariant under translations using the group operation. In this thesis, we give a construction of the Haar measure on locally compact and Hausdorff topological groups, and we show its uniqueness up to a multiplicative factor. We also show the existence of a G-invariant measure on the quotient spaces G/H where H is a closed subgroup of G. Finally, we show, using Siegel domains, that the G-invariant measure of the quotient SL(n, R)/SL(n, Z) is finite.