Aproximación asintótica de integrales

Abstract

Este trabajo explora los desarrollos asintóticos y su aplicación en la evaluación aproximada de integrales paramétricas. Se hace un breve repaso de las relaciones de orden entre funciones, que sirven de base para la presentación de los desarrollos asintóticos. El primer método que se introduce es el lema de Watson, fundamental para el cálculo de los desarrollos de las integrales de tipo Laplace. A continuación, se estudia el método de Laplace en distintos escenarios, considerando diversas hipótesis sobre la integral de partida. Finalmente, se estudian los puntos de silla y las direcciones de ascenso y descenso de las funciones complejas, lo que permite entender en detalle el método de mayor descenso. Cada uno de estos procedimientos vienen acompañados de ejemplos ilustrativos que destacan la potencia de los desarrollos asintóticos y cada uno de los métodos descritos.

This project explores asymptotic expansions and their application in the approximate evaluation of parametric integrals. Starting from a brief review of the order relations between functions, the basis of the asymptotic expansions are shown. The first method is known as Watson’s lemma, elementary for the computation of the expansions of Laplace-type integrals. Moreover, the Laplace method is studied in assorted scenarios, considering manifold hypotheses about the main integral. Finally, for a detailed understanding of the steepest descent method, the theory of saddle points and the directions of ascent and descent of complex functions is studied. Those methodologies are followed by illustrative examples that highlight the power of asymptotic expansions.