Algunos resultados sobre teoría cualitativa de sistemas dinámicos planos

Abstract

Este trabajo aborda algunos de los resultados más relevantes sobre la teoría cualitativa de sistemas dinámicos en el plano. Comienza con una introducción a los conceptos fundamentales que, posteriormente, permiten clasificar los sistemas dinámicos bidimensionales. Se incluye además el teorema de la variedad estable e inestable y el Teorema de Hartman-Grobman. A continuación, se presentan los conceptos de conjuntos ω-límite y α-límite, junto con la aplicación de Poincaré, los cuales son esenciales para desarrollar el teorema de rectificación de flujo y analizar los ciclos límite. También se expone el desarrollo del Teorema de Poincaré-Bendixson. Finalmente, se ejemplifican los tres tipos de bifurcaciones más simples (la bifurcación silla-nodo, la bifurcación transcrítica y la bifurcación de pitchfork), además de la bifurcación de Hopf, destacando sus características principales.

This work addresses some of the most relevant results in the qualitative theory of dynamical systems in the plane. It begins with an introduction to the fundamental concepts that later allow the classification of two-dimensional dynamical systems. Additionally, the stable and unstable manifolds’ theorem, as well as the HartmanGrobman’s Theorem, are included. Subsequently, the concepts of ω-limit and α-limit sets are introduced, along with the Poincar´e map, which are essential for developing the flow rectification’s theorem and analyzing limit cycles. The development of the Poincar´e-Bendixson’s Theorem is also added. Finally, the three simplest types of bifurcations (the saddle-node bifurcation, the transcritical bifurcation, and the pitchfork bifurcation) are exemplified, along with the Hopf’s bifurcation, highlighting their main characteristics.