Métodos dinámicos y numéricos de la teoría del promedio con aplicación en problemas de osciladores

Abstract

Este trabajo tiene como objetivo demostrar diversas cotas para la diferencia entre la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales que combina dos escalas de tiempo y su sistema promediado, utilizando un enfoque moderno y riguroso. Se define el concepto de promedio y se analizan propiedades de las funciones KBM, estableciendo cotas para la diferencia entre soluciones en escala de tiempo 1/ε. Además, se introducen funciones UKBM para generalizar resultados a intervalos no acotados. La teoría del promedio para funciones periódicas se expone en su versión clásica, estudiando un cambio de variable que transforma la ecuación original en la promediada, y generalizándose para aproximaciones de mayor orden. Finalmente, se presentan aplicaciones prácticas, como el análisis del péndulo de Kapitza y el fundamento e implementación de los métodos numéricos de promediado estroboscópico, que permiten integrar de manera eficiente problemas de osciladores.

This work aims to demonstrate various bounds for the difference between the solution of a system of differential equation where two time-scales are present and its averaged system, using a modern and rigorous approach. The concept of averaging is defined, and properties of KBM functions are analyzed, establishing bounds for the difference between solutions on a time scale of 1/ε. Additionally, UKBM functions are introduced to generalize results to unbounded intervals. The theory of averaging for periodic functions is presented in its classical version, studying a change of variables that transforms the original equation into the averaged one, and generalizing to higher-order approximations. Finally, practical applications are presented, such as the analysis of the Kapitza pendulum and the theoretical basis and implementation of the of stroboscopic averaging numerical methods, which allow for the efficient integration of oscillator problems.