Introducción a la geometría hiperbólica

Abstract

En este trabajo lo que se intenta abordar es un estudio básico sobre la geometría hiperbólica plana. Para ello, se dará un modelo de dicha geometría y se demostrará que, efectivamente, cumple las propiedades necesarias para ser una variedad riemanniana. El origen de este problema surge a partir de los cinco postulados de Euclides sobre la geometría. Cuando se intentó probar el quinto postulado a partir de los otros cuatro negando este último razonando por reducción al absurdo, surgieron dos tipos alternativos de geometría: la geometría elíptica y la geometría hiperbólica. En la geometría elíptica, dado un punto exterior a una recta dada, no existen rectas paralelas a dicha recta y que pasen por ese punto; sin embargo, en la geometría hiperbólica existen infinitas.Comenzamos, en el primer capítulo, estudiando las transformaciones de Möbius, y en particular, el grupo de transformaciones de Möbius que dejan H invariante. Esto nos será necesario como paso previo puesto que nos serviremos de las transformaciones de Möbius que conservan H para construir la longitud hiperbólica en el siguente capítulo, a partir de la cual obtendremos la estructura de variedad riemanniana mencionada en el apartado final de dicho capítulo. En el segundo capítulo dfinimos una métrica en H, estudiamos los conceptos de longitud y distancia en H y mostramos una estructura de variedad riemanniana en H. Finalmente, dedicamos el tercer capítulo a estudiar las rectas en H, definidas como las curvas de distancia mínima con la estructura de variedad riemanniana anteriormente introducida. Mostramos el comportamiento de dichas rectas hiperbólicas así como qué diferencias y similitudes tienen la geometría hiperbólica y la geometría euclídea. Este trabajo pretende ser autocontenido, por lo que puede ser leído y comprendido por cualquier estudiante del grado de matemáticas, ya que para su comprensión son necesarios solamente conocimientos básicos de álgebra lineal, análisis matemático y topología; además de algunas nociones de geometría diferencial y variable compleja. En este trabajo se sintetizan algunos de los conocimientos del grado para obtener una ampliación del concepto que tenemos de geometría.