Sistemas superintegrables en mecánica clásica y en mecánica cuántica: generalización en la esfera S2 y formulación geométrica de la mecánica

Abstract

En este trabajo se abordan los sistemas superintegrables tanto en mecánica clásica como cuántica. Primero, y con cierta generalidad, se estudia una formulación geométrica de la mecánica. Estudiamos esta formulación moderna de la mecánica con teoría de variedades y cálculo tensorial. Debido a la complejidad/abstracción matemática inicial, intentamos dar una visión heurística de los resultados más básicos o importantes. Después, se realiza una introducción teórica a la superintegrabilidad, seguida por ejemplos importantes (Kepler y Coulomb en E3 y S2) estudiados haciendo uso de sus propiedades como sistemas superintegrables. En la segunda parte del trabajo, realizamos un estudio de una nueva familia de hamiltonianos en S2. Desarrollamos tanto un análisis del caso clásico como del cuántico. Utilizamos el formalismo de factorizaciones, operadores escalera (ladder) y desplazamiento (shift). Este estudio, consta de dos partes. Por un lado, proponemos una serie de resultados nuevos (con su correspondiente demostración) lo más generales posibles para que sean aplicables a otros sistemas físicos. Por otro lado, aplicamos esos resultados a nuestro sistema particular (hamiltoniano U(3) generalizado) siguiendo las ideas de lo sistemas TTW y mostramos sus propiedades asociadas a la superintegrabilidad.