Mecánica cuántica supersimétrica y potenciales V (x) = β|x|α

Abstract

En esta memoria se presentan los fundamentos de la mecánica cuántica supersimétrica y algunas de sus aplicaciones principales. En ella se demuestran las características más importantes y se añaden algunos ejemplos ilustrativos. Algunos de estos aspectos son las relaciones entre parejas de potenciales supersimétricos, sus autovalores y sus estados propios. Dentro de este marco, el primer capítulo se articula como una introducción a la supersimetría, y cómo de esas teorías surgió la mecánica cuántica supersimétrica. El segundo capítulo es el cuerpo de esta parte, en el que se explican los fundamentos partiendo de ideas abstractas del álgebra supersimétrica a modelos más concretos. A continuación, en una segunda parte, se explica la técnica que permite crear familias de parejas de potenciales dado un potencial con un estado ligado, estableciendo jerarquías. Esto permite establecer una interesante relación con los potenciales que son solubles analíticamente en mecánica cuántica, como el oscilador armónico o el pozo de potencial. Dentro de esta parte, en el tercer capítulo se explican las propiedades que deben cumplir dichos potenciales y la forma de trabajar con ellos, para a continuación incluir algunos ejemplos que permiten comprobar las ideas tanto de los fundamentos de la mecánica cuántica supersimétrica como de las propiedades de los potenciales de forma invariante. Finalmente, los capítulos cuarto y quinto (la parte original de este trabajo) son la aplicación de estas técnicas a potenciales unidimensinales del tipo V (x) = |x|α, α > 0, y a su equivalente tridimensional, V (r) = rα, α > 0 Esta familia de potenciales tiene como interés el contener al oscilador armónico.