Dynamical Algebras of Hyperbolic Pöschl-Teller Potentials

Abstract

In this work the Schrödinger equation for hyperbolic Pöschl–Teller (PT) potential is solved algebraically. Two couples of operators are proposed, which allow us to solve the equation by means of the factorization method. The dynamical algebras of the two-parametric hyperbolic Pöschl–Teller Hamiltonian hierarchies are obtained. These operators act on the eigenfunctions of each Hamiltonian relating them to the eigenfunctions of a second Hamiltonian. This kind of operators are called “shift” because they change the parameters of the potential but keep the energy. Such operators close the Lie algebra su(1; 1) su(1; 1) which is isomorphic to the so(2; 2) Lie algebra. In the second part of this work, the PT Hamiltonian is obtained starting from the Lie algebra su(1; 1) su(1; 1). First, by building the appropriate representations on a pseudo sphere of three dimensions and afterwards we identify the realizacion of the generators of the algebra with the operators computed by the factorization method. We have also obtained the eigenfunctions by means of both approximations.

En este trabajo se resuelve algebraicamente la ecuación de Schrödinger para el potencial de Pöschl-Teller (PT) hiperbólico. Se proponen dos parejas de operadores, los cuales permiten resolver tal ecuación por el método de factorización. Se obtienen las álgebras dinámicas de una “jerarquía” de hamiltonianos de Pöschl–Teller con dos párametros. Dichos operadores actúan sobre las funciones propias de un hamiltoniano relacionándolas con las funciones propias de un segundo hamiltoniano. Este tipo de operadores se denomina “shift” porque cambia solo los párametros del potencial pero mantiene la energía. Dichos operadores cierran un álgebra de Lie su(1; 1) su(1; 1) la cual es isomorfa al álgebra de Lie so(2; 2). En una segunda parte se obtiene el hamiltoniano de PT a partir del álgebra su(1; 1) su(1; 1). Primero, construyendo las representaciones adecuadas en una pseudo esfera de dimensión tres y a continuación identificando la representación de los generadores del álgebra con los operadores calculados mediante la factorización. También se obtienen las funciones propias mediante las dos aproximaciones.