Métodos pseudoespectrales para la resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales

Abstract

En este Trabajo Fin de Grado presentaremos los fundamentos matemáticos en que se basan los métodos espectrales y pseudoespectrales y su aplicación a la resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales. En la primera parte del trabajo describiremos los algoritmos de diferenciación espectral que emplean la transformada de Fourier discreta, así como las bases de la teoría de la aproximación que nos permitirán estudiar la convergencia de la diferenciación espectral. Posteriormente abordaremos la convergencia de un método Fourier-Galerkin y un método de colocación pseudoespectral para la ecuación Korteweg-de Vries (KdV). En la última parte del trabajo nos centraremos en los aspectos relacionados con la implementación de estos métodos, como es la transformada rápida de Fourier, para terminar con la programación de la resolución numérica de la ecuación KdV. El orden exponencial de convergencia de los métodos espectrales y pseudoespectrales nos permitirá hacer simulaciones precisas de la interacción entre solitones de la ecuación KdV.