Aproximación a los grupos de Lie en física a través de un hamiltoniano de tipo Pöschl-Teller

Abstract

El objetivo de este trabajo es hacer una introducción a los grupos de Lie en física a través de un ejemplo concreto: un hamiltoniano de tipo Pöschl-Teller. Introducimos las definiciones y conceptos matemáticos necesarios para tratar con los grupos de Lie clásicos, y realizamos un estudio detallado de los grupos de rotaciones SO(2), SO(3), y SO(4), así como de sus álgebras de Lie y la relación de estas con el álgebra de Lie su(2). También presentamos distintas representaciones de estos grupos y álgebras. Posteriormente, analizamos el hamiltoniano de tipo Pöschl-Teller y encontramos dos factorizaciones estándar, que relacionamos con las representaciones obtenidas anteriormente. Finalmente, incluimos gráficos de puntos ilustrativos de las representaciones que estamos considerando para el hamiltoniano de tipo Pöschl-Teller. El resultado que se encuentra es que se obtiene una representación de so(4) como suma directa su(2) Ɵ su(2) a partir de la factorización del hamiltoniano de tipo Pöschl-Teller, y esta representación no es la estándar de so(4), pero se puede identificar con una representación de so(4) sobre la esfera S3 a través de las coordenadas de Hopf.

The aim of this project is to make an introduction to Lie groups in physics via a specific example: a Pöschl-Teller Hamiltonian. We introduce the definitions and mathematical concepts necessary to deal with the classical Lie groups, and we carry out a detailed study of the rotation groups SO(2), SO(3), and SO(4), as well as of their Lie algebras and their relation to the Lie algebra su(2). We also present different representations of these groups and algebras. Subsequently, we analyze the Pöschl-Teller Hamiltonian and find two standard factorizations, which we relate to the representations obtained previously. Finally, we include illustrative point graphs of the representations that we are considering for the Pöschl-Teller Hamiltonian. The result found is that a representation of so(4) is obtained as a direct sum su(2) Ɵ su(2) from the factorization of the Pöschl- Teller Hamiltonian, and this representation is not the standard representation of so(4), but can be identified with a representation of so(4) on the sphere S3 via Hopf coordinates.